FILE — 049 / DOUBLE PENDULUM / CHAOS TRACER
Pendulum
Trace.
240 HZ EFFECTIVE
AI-LAB · 〇 FREE
Field Notes
SEVEN SHORT NOTES ON THE PENDULUM
WHAT IS A DOUBLE PENDULUM
1 本目の振り子の先端に、 もう 1 本の振り子を 釣り下げた装置を 二重振り子と呼ぶ。 自由度 2 の保存力系であり、 初期条件に 極めて敏感な カオス的挙動を示す代表例である。 同じパラメータでも 角度 0.001 ラジアン の違いが、 数秒後には まったく違う軌道に発散する。
EQUATIONS OF MOTION
ラグランジアン L = T − V から Euler-Lagrange 方程式を導き、 一階常微分方程式系に変形する。 dθ1/dt = ω1, dθ2/dt = ω2、 加速度 dω1/dt と dω2/dt は 質量 m1 m2、 長さ L1 L2、 重力 g、 角度差 θ1 − θ2 の sin/cos に依存する 三角関数の非線形組み合わせ。
RUNGE-KUTTA 4TH ORDER
数値積分には RK4 を採用。 1 ステップ dt = 0.008 s (約 120 Hz)、 描画 1 フレーム当たり 4 サブステップを取り 実効 240 Hz。 オイラー法と比べて 局所誤差は O(dt⁵)、 全体誤差は O(dt⁴) と桁違いに低く、 数分〜数時間 走らせても 軌道の形が崩れにくい。
PRESETS · 6 TYPES
CLASSIC (π/2 + π、 質量 1) / VERTICAL (倒立 不安定) / HEAVY TIP (m2 = 4、 振り回し挙動) / LONG ARM (L1 = 1.6 で 緩やかな弧) / CHAOS (大きな初速、 乱流) / STILLNESS (減衰 0.04 で 徐々に静止)。 タップで 状態 + パラメータ + 軌跡が リセットされ、 新しい初期条件で 走り直す。
PARAMETERS · 6 AXES
上下の 質量 (0.2 - 6 kg)、 上下の 紐長 (0.3 - 2 m)、 重力 (1 - 25 m/s²、 地球以外の惑星も再現可)、 減衰 (0 - 0.2、 空気抵抗 + 関節摩擦の合算)。 6 軸を 自由に動かすと、 同じ プリセットでも 別の軌道が現れる。 リセット せずに 走行中に変更すれば、 軌道が 動的に分岐していく。
TRACE & PALETTES
下端 球の (x, y) 座標を 1600 点まで保持し、 直近 80 点だけ 太く描画して 残光を表現。 6 パレット — SIGNAL RED (白地 + 朱赤線) / DEEP INK (黒地 + 白線) / SPECTRUM (cream + 三色球) / MONOCHROME (純黒線) / BLUEPRINT (紺地 + 卵殻色) / HIGHLIGHTER (蛍光黄地 + 朱赤線)。 PNG として ダウンロード可能、 商用 OK。
CHAOS · PRACTICAL NOTES
決定論的カオスは 「予測不能」 と 「ランダム」 とは異なる。 同じ初期条件なら 同じ軌道が 必ず再現される。 ただし測定誤差 0.001 ラジアンが 数秒後には マクロな差として現れるため、 実世界の振り子は 長期予測が事実上 不可能。 数値積分でも 倍精度 16 桁の限界に近づくと 軌道は 真値から離れる — それでも 統計的性質 (リアプノフ指数、 アトラクタの形) は保たれる。
Deterministic yet Unpredictable. — Henri Poincaré, 1890
Service Manual
NINE QUESTIONS · NINE ANSWERS
Q · WHO IS THIS FOR?
高校〜大学初年の 古典力学 学習者、 数値解析の入門者、 generative art 作家、 物理シミュレータの実装を学びたい開発者、 そして 単純に 美しい軌跡を 眺めたい人。 専門用語と直感的な遊びを 同じ画面で 並べる構造になっている。
Q · CAN I USE THE PNG COMMERCIALLY?
可。 出力された軌跡 PNG は あなたのオリジナル作品として 無条件に 使える。 SNS / 壁紙 / NFT / Tシャツ POD / 名刺 / 印刷物 / プレゼン / クライアントワーク。 透かしも クレジット強制も無い。 アルゴリズム (Lagrangian / Runge-Kutta) は 数学概念で 著作物ではないため、 出力に 第三者の権利は無い。
Q · WHY IS THIS CHAOTIC?
非線形運動方程式は 厳密解が存在しない。 数値積分でも 倍精度の限界 (~16 桁) があり、 初期値 を 1e-15 動かしただけで、 リアプノフ時間 (おおよそ 1 / 最大リアプノフ指数 ≈ 数秒) を超えれば 軌道が マクロに乖離する。 リアプノフ指数が 正であることが 数学的にカオスである 定義。
Q · WHY RK4 INSTEAD OF EULER?
オイラー法 (1 次) は 1 ステップで O(dt²) の局所誤差を生む。 二重振り子のような 急峻な角速度変化がある系では、 数十秒で 軌道がエネルギー保存を著しく破り、 振り子が 発散する。 RK4 は 中間点を 4 回サンプルして 局所誤差 O(dt⁵)、 数分〜数時間 走らせても エネルギー 保存が 数 % 以内に収まる。
Q · CAN I CHANGE GRAVITY?
可。 g スライダーで 1 m/s² (月の 1/2 程度) から 25 m/s² (木星 重力相当) まで。 同じ初期条件でも g が変われば 周期と軌道の形が 大きく変わる。 「火星 (3.7)」 「月 (1.6)」 「木星 (24.8)」 を 試して 違いを 観察する用途にも 使える。
Q · DOES THE TRAIL EVENTUALLY REPEAT?
理論上、 二重振り子の位相空間 (4 次元 / θ1 θ2 ω1 ω2) における 軌道は カオスアトラクタを密に埋める。 つまり 厳密には 二度と同じ点を通らない。 軌跡が 似た図形に見えるのは 可視 2 次元 (x, y) への 射影で 重なりが起きるため。
Q · IS THIS RELATED TO LORENZ ATTRACTOR?
概念的に近い。 ローレンツ・アトラクタも カオス系で 3 次元位相空間に 蝶形のアトラクタを 描く。 二重振り子の 4 次元位相空間からの 射影軌跡も、 ローレンツ蝶ほど 整った形ではないが 似た 「永続的に動き続けつつ 同じ場所には戻らない」 性質を持つ。
Q · WHAT ABOUT PRIVACY?
全計算は あなたの ブラウザの JavaScript の中だけで行われ、 サーバーには 何も送られない。 Network タブで確認可能。 アップロードも、 ログインも、 トラッキング クッキーも不要。
Q · HOW DOES THIS RELATE TO OTHER LAB SERVICES?
ラボの シミュレーター 6 本柱: pile-park (物理) / doodle-drop (描く物理) / frac-cast (数学イテレーション) / cell-drift (セルラー進化) / vibe-coder (演出 sim) / pendulum-trace (カオス力学)。 また frac-cast の マンデルブロ集合と並んで、 「数学的に単純な規則が 視覚的に複雑な絵を生む」 系列。